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从兰切斯特方程看强者益强和如何以弱胜强(二)

(1)
 
2017  年二月,香港地铁上发生了一起打斗事件. 三名年轻外籍人士和几名本地人先有肢体冲撞,随之口角。领头的外籍人士先抬手打了一位“白衣短袖”的香港老者一个嘴巴,车厢内马上乱成一团,爆发群殴, 一时难解难分.
 
当地铁到站,打斗转移到站台上时,局势对于外方急转直下. (从下面视频的一分零七秒开始)
 
从录像看,港方参战团队五到六人, 外方三人.
 
1) 车厢门打开后, 先是外方一号跌倒在车厢门口,三四个人在车厢门口混战.
 
2) 混战中的外方二号被港方一白衣大叔追逐,后退,一拳打翻在地,随后港方又来一名队员对其围殴,外方二号抱头蜷缩,丧失抵抗能力,退出斗殴.
 
3) 外方一号站起来后,在旁边没有参与对队友的救援,自己也很快面临港方两名队员的夹攻。当港方第三名队员加入攻击,从后面拉其头发和肩膀时,他很快倒地,抱头蜷缩,彻底丧失抵抗能力.
 
4) 外方三号开始打了几拳后,后面一直后退袖手旁观,最后沿着楼梯往上逃窜.
 
其实如果这几位年轻人学过军事数学上的兰切斯特方程,就绝不会在人数处于劣势时主动寻衅,自取其辱.
 
(2)
 
(有关兰切斯特方程和相关部分战例的内容,笔者是最初从汪涛老师的公众号“纯科学”的文章里学习到的。特此鸣谢,并推荐读者订阅汪老师的公众号 “纯科学”.)
 
兰切斯特方程,是1916年一次世界大战期间,英国工程师 Frederick Lanchester  发现提出的。这里重点介绍的是所谓兰切斯特平方律,它的基本假设是交战双方可以攻击对方的任何一个作战单元 (士兵),自己也可能被对方任何一个士兵所攻击.
 
假设红蓝两军交战,红军的士兵数目为 A, 蓝军为 B. 假设红军的攻击力为 α, 意味着其单兵在单位时间可以杀伤的敌军士兵数目, 同样,假设蓝军的攻击力为 β.
 
那么两军人数随着时间变化,其关系可以用下述微分方程表达:
 
        dA/dt = −βB
        dB/dt = −αA
 
这个微分方程有两个重要结论:
 
第一, α A^2 = β B^2 + C ( C是一个常数)
 
用大白话说,两军的作战能力和自己单兵的杀伤效率成正比,但是和自己的人数的平方成正比. 如果三打一,人多一方的等价战斗力是人少一方的九倍!人少的一方需要有多方九倍的单兵战斗力才可能获胜!
 
第二, 当人少的一方被全歼时,人多一方还剩下的人数是
    平方根 (α A^2 - β B^2)
 
换句话说,如果三打一,假设同等单兵战斗力, 弱者被全歼后,强者还剩人数是
     平方根(8) = 2.83. 
 
强者以损失 0.17 人的代价消灭弱者一人,自身战损率约 6%。但如果把打仗看成做生意,消灭敌军的数目当成投资回报,三打一的回报率就接近六倍!
 
如果是五打一,那么弱者被消灭时,强者人数还有 平方根(25 - 1)= 4.9, 损失0.1 人,战损率仅 2%,但消灭敌军的数目(一人)是自己损失的十倍 !
 
孙子兵法中总结的“十则围之,五则攻之”,其数学机制,就来源于此.
 
在香港地铁斗殴事件中,港方约五人,外方三人,按照兰切斯特方程,港方战斗力是外方的 25/9 = 2.7 倍。外方只有在单兵作战力是港方三倍的情况下,才有比较大的胜算. 否则轻易寻衅是自讨苦吃.
 
战斗结束时, 胜利一方的人数
= 平方根 ( 港方人数的平方 - 外方人数的平方 ) 
= 平方根 ( 25 - 9 ) 
=  4.
 
所以理论上,是港方会以损失一人的代价全歼外方三人, 这和实际最终结局接近.
 
(3)
 
那么,数量上居于少数的弱者,在战场上,应当寻求什么样的策略以弱胜强?
 
答案在于: 寻求局部的,绝对数量优势, 迅速消灭敌人,进而使双方整体数量对比, 朝对自己有利的方向发展.
 
1947年五月的孟良崮战役开展时,在整个山东解放军兵力只有27万,低于国军的四十五万.
 
但华野抓住战机, 以十五万人合围国军 74师的三万两千人,双方兵力比例为约五比一, 华野在短时间和局部空间内形成绝对优势. 尽管 74师武器和单兵作战能力极为强悍, 是华野的三倍以上,但是按照兰切斯特方程的估算,双方实际的战斗力相比为 25: 3, 大约八比一,最后华野以伤亡一点二万人的代价,全歼了 74 师.
 
 
解放军另外一个法宝是优待俘虏,进行忆苦思甜教育,把他们迅速转换成自身的战斗力. 这样不断积小胜为大胜,从局部数量优势不断扩充成整体数量优势。 47年以后国军的溃败之迅速,让许多旁观者大跌眼镜,但这实际上是兰切斯特方程在战场上的规律的自然体现.
 
(4)
 
一个反例则是美国的南北战争. 参战的北军总数两百二十万,南军约七十五万到一百万,双方对比约 2.5 比一。在这样的大局下,即使南军取得一些胜利,如果对北军的杀伤不能超过自身损失的2.5 倍,在战略上只会加剧自身覆灭的速度.
 
战争初期南军在若干局部战役中取得胜利,但大都是伤亡比例低于 二比一的惨胜,而不是大规模的歼灭战, 完全没有改变整体格局,反而使力量对比继续朝对己不利的方向发展。传统上人们认为 1863年七月 Gettysburg 会战结束大局才定,但是实际上 1862年四月北军占领南部港口新奥尔良时,局势基本上就没有太多悬念了.
 
 
南军在整体战略没有大的调整的情况下,顽抗到 1865年六月。就像一个垃圾股一样,在归零的道路上来回小幅震荡.
 
(未完待续)
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